Ricardo Faro Rivas
 
Dpto. de Matemáticas, Fac. de Ciencias
Universidad de Extremadura


 

Algunos Árboles
de la Uex en Badajoz

 


Apuntes (sin terminar)

 

  Apuntes de Ecuaciones diferenciales

  Apuntes de Teoría de la Medida

  Apuntes de Grupos de Lie

  Retos Matemáticos Visuales

  Breves Apuntes de Análisis

  Breve Recordatorio Teorema de Stokes



Posters de Matemáticas

 
  • Poster de: Clasificación Proyectiva, Afín y Euclídea de cuádricas del espacio.
  • Poster de: Cuádricas del espacio Afín.



  • Preguntas para amantes de las Matemáticas y la Naturaleza

     
  • ¿Por qué los cantos rodados de las playas tienden a tener forma de elipsoide?
  • ¿Por qué las patatillas (patatas fritas en rebanadas finas) tienden a tener forma de paraboloide reglado (silla de montar)?
  • ¿Por qué los girasoles tienen dos colecciones de curvas, una destrógira y otra levógira,
    en distinto número que además suelen ser dos números seguidos de la sucesión de Fibonacci?
  • ¿Por qué en la superficie de leche de un cazo, o en la base de una tapa, se dibuja una epicicloide?
    (que en estos casos se llama cáustica)
  • ¿Qué es π (=Pi)?, ¿Es algo mas que una proporción geométrica (la del perímetro de una circunferencia a su diámetro)?.
    ¿Se puede ver, como vemos una montaña?.
    ¿Se puede oír, como oímos la lluvia?. Así suenan, con distintos instrumentos, las 16 primeras notas de π
        si se pone en base 12 y cada cifra es una de las 12 notas de la escala cromática ó dodecafónica (Oir π)
  • ¿Por qué se ven elipses de luz entre las sombras que dan las hojas de un árbol que está a pleno sol?
  • ¿Por qué cuando cierras el grifo de una manguera el caudal disminuye, de repente crece y vuelve a disminuir?
  • ¿Por qué el fenómeno anterior es constante en la naturaleza y se manifiesta entre los seres vivos,
        animales ó plantas, con un resurgimiento de vida antes de morir?
  • ¿Por qué nos entendemos, incluso traducimos a otro idioma, si obviamente ninguna palabra se puede definir?
  • ¿Por qué son tan especiales las dimensiones 3 y 4 en la vida, la Física y las Matemáticas? (Mira las propiedades siguientes)



  • Números naturales especiales

     
      1.- Hay solución general para encontrar las raíces de un polinomio de grado n, para n=1,2,3 y 4; para ninguno mas.
      2.- IR4 tiene ¡infinitas! estructuras diferenciables (no difeomorfas). En el resto de espacios IRn hay una única estructura
      diferenciable (salvo difeomorfismos).
      3.- Entre las esferas n-dimensionales Sn de IRn+1, sólo son grupos de Lie S1 y S3, la primera con el producto de
      los complejos y la segunda de los cuaterniones. Del resto de esferas sólo S7, con el producto de los octoniones,
      es casi grupo de Lie. Lo único que falla es que el producto no es asociativo.
      4.- El primer polígono regular del plano que no puede construirse con regla y compás es el de siete lados.
      5.- En dimensión 2 hay infinitos polígonos regulares, en dimensión n en general hay tres familias de "hiperpolígonos"
      (politopos) regulares que son la generalización del tetraedro, del cubo y del octaedro.
      En dimensión 3 hay cinco, las tres anteriores y dos más: el dodecaedro y el icosaedro (que en un sentido son duales)
      y en dimensión 4 hay seis, las tres generales y tres más que son: el 24--cell, el 120--cell y el 600--cell,
      siendo estos dos últimos duales (el número indica la cantidad de hipercaras frontera).
      6.- Las biyecciones de un conjunto de n elementos, Xn={1,2,...,n}, forman con la composición el grupo Sn de las
      permutaciones. Este contiene un subgrupo normal An, que se llama grupo alternado y que consiste en la colección de
      los productos de un número par de trasposiciones. An es el único subgrupo normal no trivial de Sn, salvo para n=4.
      En S4 hay otro que es el grupo de Klein y que es {id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
      y tiene que ver con los tres segmentos que unen los pares de puntos medios de aristas opuestas del tetraedro.
      7.- Una biyección f en un conjunto de n elementos, Xn, define por conjugación un isomorfismo f en su grupo
      de permutaciones Sn, f(x)=fxf-1. De este tipo son todos los isomorfismos en Sn, salvo para n=6.
      En S6 hay un isomorfismo que no viene de una biyección en X6.
      8.- En partes de IR y partes de IR2 existen medidas finitamente aditivas no nulas, finitas en los acotados,
      invariantes por traslaciones y que coinciden con la medida de Lebesgue en los Lebesgue medibles.
      Para IRn con n≥3 no es cierto.
      9.- Dados dos cuerpos convexos y simétricos respecto del origen A y B en IRn, cuyas secciones AH y BH
      por cualquier hiperplano central H tienen volúmenes n-1 dimensionales

      mn-1[AH]mn-1[BH],

      ¿es cierto que mn[A] ≤ mn[B]?
      Respuesta.- Verdadero para n=1,2,3,4. Falso para n≥ 5.
      10.- En un recorrido aleatorio simple por Z, es decir Xn=Z1+...+Zn, para Zi variables aleatorias independientes
      e igualmente distribuidas, con distribución P[Zi=1]=P[Zi=-1]=1/2, la probabilidad de que en algún instante
      pasemos por un punto arbitrario pero fijo es 1.
      En un recorrido aleatorio simple en Z2, con probabilidades iguales (1/4) en las cuatro direcciones,
      la respuesta también es 1.
      En un recorrido en Z3, con probabilidades iguales (1/6) en las seis direcciones, la respuesta es ¡0,6...!.
      11.- Los hipervolúmenes mn[Bn], de las bolas unidad Bn={x12+...+xn2≤1} de IRn, crecen hasta n=5
      y luego decrecen a cero cuando n tiende a infinito. Mas aun, su serie es convergente y no llega a 50.
      12.- Para todo natural n≥2 (salvo para n=4) se tiene que: o bien (n-1)!+1 es múltiplo de n ó (n-1)! es múltiplo de n
      ocurriendo lo primero si y sólo si n es primo y lo segundo si y solo si no lo es.