Ricardo Faro
 
Dpto. de Matemáticas, Fac. de Ciencias
Universidad de Extremadura


 

Asignaturas

 
  • Teoría de la medida. (3º de Matemáticas)
  • Ecuaciones en Derivadas Parciales.(Optativa de Matemáticas, Física y Estadística)
  • Matemáticas en la Enseñanza Secundaria.(Optativa de Matemáticas y Estadística)
    Parte de Análisis de la Asignatura compartida con
    Algebra y Geometría (Amelia Alvarez) y Estadística (Maribel Parra)



  • Posters de Matemáticas

     
  • Poster de: Clasificación Proyectiva, Afín y Euclídea de cuádricas del espacio.
  • Poster de: Cuádricas del espacio Afín.



  • Dibujos de Matemáticas con movimiento

     
    Los siguientes dibujos están hechos con dos programas:
    Con Cinderella, en el que se pueden mover los puntos de colores claros, no los de color oscuro.
    Con Geogebra, en el que el elemento que se mueve se dice en cada ejemplo.

  • Propiedades de Refracción de las cónicas. Las cónicas tienen propiedades conocidas de reflexión,
    pero también las tienen de refracción. Mueve el punto O (con lo que se moverá el punto P de la cónica)
    y observa que el cociente del cos(FPA)/cos(BPC), es constante.
    Esa constante es la pendiente de la recta CR y es la excentricidad de la cónica.
    Como consecuencia de esta propiedad se tienen las propiedades de reflexión de las cónicas.
  • Distribución: Ejemplo1. Curso de Ecuaciones funcionales
    Ejemplo de distribución en el plano cuyas curvas integrales son elipses de focos A y B.
    Mueve el punto C. La recta azul define la distribución en ese punto.
    (ver ejercicios (3.7.7) y (6.5.6) de los apuntes (en pdf).
  • Distribución: Ejemplo2. Curso de Ecuaciones funcionales
    Mueve el punto F. La recta azul define la distribución en ese punto.
  • Distribución: Ejemplo3. Curso de Ecuaciones funcionales
    Ejemplo de distribución en el plano que no se puede definir con un único campo tangente D.
    Ver el ejercicio (6.2.2) de los apuntes (en pdf).
  • Envolvente. Curso de Ecuaciones funcionales
    Ejemplo de envolvente (la curva negra)
    de circunferencias del mismo radio con centros en una parábola.
    (ver Tema de la envolvente en los apuntes (en pdf).
  • Tractriz. Curso de Ecuaciones funcionales
    Mueve el punto A y verás como se genera, en verde, la tractriz, con la exponencial.
    (ver página 118 de los apuntes (en pdf).
  • Cicloide. Curso de Ecuaciones funcionales
    Mueve el punto C y verás como se genera, en rojo, la cicloide, con una rueda.
    (ver página 558 de los apuntes (en pdf).
  • Cáustica cicloide. Curso de Ecuaciones funcionales
    La cáustica de una superficie es la envolvente de los rayos reflejados
    en dicha superficie, que actúa de espejo; de los rayos del sol.
    Suelen verse como líneas de luz concentrada, en el fondo de una piscina
    o en un cazo de leche (ver fotos mas abajo).
    Mueve el punto C y verás como se genera, en rojo, la cáustica de la cicloide.
    Observa que se genera una cicloide doble, de tamaño la mitad.
    Lo cual es asombroso pues la cáustica de la mitad de la cicloide (que no es simétrica)
    ¡es una cicloide que sí lo es! (ver página 558 de los apuntes (en pdf).
  • Cáustica exponencial. Curso de Ecuaciones funcionales
    Mueve el punto A y verás como se genera, en azul, la cáustica de la exponencial.
    Observa que se genera ¡una catenaria!.
    Lo cual es asombroso, de nuevo, pues la exponencial no es simétrica y su cáustica, la catenaria, sí lo es!
    (ver página 557 de los apuntes (en pdf).
  • Envolvente: Avión mas rápido que el sonido. Curso de Ecuaciones funcionales
    Ejemplo de envolvente de las ondas sonoras que produce un avión supersónico.
    En cada instante es un cono con vértice el avión.
    (ver ejemplo (7.7.4) de los apuntes (en pdf).
  • Avión mas lento que el sonido. Curso de Ecuaciones funcionales
    Mueve el avión hacia A.
    En este caso no hay envolvente de las ondas sonoras,
    pues las esferas no se cortan (ver ejemplo (7.7.4) de los apuntes (en pdf).
  • Péndulo Curso de Ecuaciones diferenciales
    Ver la página 42 de los apuntes (en pdf).
  • Leyes de Kepler. Curso de Ecuaciones funcionales
    Primera y segunda leyes de Kepler
    ver lecciones 4.14.4, 7.9.2 y 7.11.6 de los apuntes (en pdf).
  • Vector de Runge-Lenz. Curso de Ecuaciones funcionales
    ver lección 7.9.2 de los apuntes (en pdf).
  • Cuarto Armónico. Curso de Geometría proyectiva
  • Teorema de Desargues. Curso de Geometría proyectiva
  • Teorema de Pascal. Curso de Geometría proyectiva
  • Teorema de Brianchon. Curso de Geometría proyectiva



  • Preguntas para amantes de las Matemáticas y la Naturaleza

     
  • ¿Por qué los cantos rodados de las playas tienden a tener forma de elipsoide? (Ver foto)
  • ¿Por qué las patatillas (patatas fritas en rebanadas finas) tienden a tener forma de paraboloide reglado (silla de montar)? (Ver foto)
  • ¿Por qué los girasoles (ver foto) (son dos seguidas) tienen dos colecciones de curvas, una destrógira y otra levógira,
         en distinto número que además siempre son dos números seguidos de la sucesión de Fibonacci (ver dibujo)?
  • ¿Por qué en la superficie de leche de un cazo (ver foto), o en la base de una tapa (ver foto), se dibuja una epicicloide?
        (que en estos casos se llama cáustica) (ver dibujo)
  • ¿Qué es π (=Pi)?, ¿Es algo mas que una proporción geométrica (la del perímetro de una circunferencia a su diámetro)?.
        ¿Se puede ver, como vemos una montaña?.
        ¿Se puede oír, como oímos la lluvia?. Así suenan, con distintos instrumentos, las 16 primeras notas de π
        si se pone en base 12 y cada cifra es una nota de la escala cromática ó dodecafónica (Oir π)
  • ¿Por qué se ven elipses de luz entre las sombras que dan las hojas de un árbol que está a pleno sol?
  • ¿Por qué cuando cierras el grifo de una manguera el caudal disminuye, de repente crece y vuelve a disminuir?
  • ¿Por qué el fenómeno anterior es constante en la naturaleza y se manifiesta entre los seres vivos,
        animales ó plantas, con un resurgimiento de vida antes de morir?
  • ¿Por qué nos entendemos, incluso traducimos a otro idioma, si obviamente ninguna palabra se puede definir?
  • ¿Por qué son tan especiales las dimensiones 3 y 4 en la vida, la Física y las Matemáticas? (Mira las propiedades siguientes)



  • Números naturales especiales

     
      1.- Hay solución general para encontrar las raíces de un polinomio de grado n, para n=1,2,3 y 4; para ninguno mas.
      2.- IR4 tiene ¡infinitas! estructuras diferenciables (no difeomorfas). En el resto de espacios IRn hay una única estructura
      diferenciable (salvo difeomorfismos).
      3.- Entre las esferas n-dimensionales Sn de IRn+1, sólo son grupos de Lie S1 y S3, la primera con el producto de
      los complejos y la segunda de los cuaterniones. Del resto de esferas sólo S7, con el producto de los octoniones,
      es casi grupo de Lie. Lo único que falla es que el producto no es asociativo.
      4.- El primer polígono regular del plano que no puede construirse con regla y compás es el de siete lados.
      5.- En dimensión 2 hay infinitos polígonos regulares, en dimensión n en general hay tres familias de "hiperpolígonos"
      (politopos) regulares que son la generalización del tetraedro, del cubo y del octaedro.
      En dimensión 3 hay cinco, las tres anteriores y dos más: el dodecaedro y el icosaedro (que en un sentido son duales)
      y en dimensión 4 hay seis, las tres generales y tres más que son: el 24--cell, el 120--cell y el 600--cell,
      siendo estos dos últimos duales (el número indica la cantidad de hipercaras frontera).
      6.- Las biyecciones de un conjunto de n elementos, Xn={1,2,...,n}, forman con la composición el grupo Sn de las
      permutaciones. Este contiene un subgrupo normal An, que se llama grupo alternado y que consiste en la colección de
      los productos de un número par de trasposiciones. An es el único subgrupo normal no trivial de Sn, salvo para n=4.
      En S4 hay otro que es el grupo de Klein y que es {id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
      y tiene que ver con los tres segmentos que unen los pares de puntos medios de aristas opuestas del tetraedro.
      7.- Una biyección f en un conjunto de n elementos, Xn, define por conjugación un isomorfismo f en su grupo
      de permutaciones Sn, f(x)=fxf-1. De este tipo son todos los isomorfismos en Sn, salvo para n=6.
      En S6 hay un isomorfismo que no viene de una biyección en X6.
      8.- En partes de IR y partes de IR2 existen medidas finitamente aditivas no nulas, finitas en los acotados,
      invariantes por traslaciones y que coinciden con la medida de Lebesgue en los Lebesgue medibles.
      Para IRn con n≥3 no es cierto.
      9.- Dados dos cuerpos convexos y simétricos respecto del origen A y B en IRn, cuyas secciones AH y BH
      por cualquier hiperplano central H tienen volúmenes n-1 dimensionales

      mn-1[AH]mn-1[BH],

      ¿es cierto que mn[A] ≤ mn[B]?
      Respuesta.- Verdadero para n=1,2,3,4. Falso para n≥ 5.
      10.- En un recorrido aleatorio simple por Z, es decir Xn=Z1+...+Zn, para Zi variables aleatorias independientes
      e igualmente distribuidas, con distribución P[Zi=1]=P[Zi=-1]=1/2, la probabilidad de que en algún instante
      pasemos por un punto arbitrario pero fijo es 1.
      En un recorrido aleatorio simple en Z2, con probabilidades iguales (1/4) en las cuatro direcciones,
      la respuesta también es 1.
      En un recorrido en Z3, con probabilidades iguales (1/6) en las seis direcciones, la respuesta es ¡0,6...!.
      11.- Los hipervolúmenes mn[Bn], de las bolas unidad Bn={x12+...+xn2≤1} de IRn, crecen hasta n=5
      y luego decrecen a cero cuando n tiende a infinito. Mas aun, su serie es convergente y no llega a 50.
      12.- Para todo natural n≥2 (salvo para n=4) se tiene que: o bien (n-1)!+1 es múltiplo de n ó (n-1)! es múltiplo de n
      ocurriendo lo primero si y sólo si n es primo y lo segundo si y solo si no lo es.