PRACTICAS DE MATEMÁTICAS I

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Operaciones elementales con Mathematica

Mathematica es un programa de cálculo numérico y simbólico. Los programas de cálculo suelen ser únicamente numéricos, por lo que no permiten trabajar con expresiones que dependan de parámetros no conocidos.

Puede ser utilizado como una simple calculadora; se escribe la expresión que se desea evaluar, usando el teclado y la paleta,  y se presiona <Intro> o <May>+<Enter> para obtener el resultado. Por ejemplo, evalua las siguientes expresiones.

1.234  +  (π^2)

5*3 + 3/4

También permite calcular con expresiones:

3  (a^2) + (b^3) - (4  (a^2)  +  b)

También permite definir funciones. Téngase en cuenta que una vez definida una función con un nombre, no se podrá utilizar ese nombre para otra función, pues en dicho caso no sabría a qué función nos referimos. Es decir, a cada función que definamos tenemos que asignarle un nombre.

f1[x_, y_] = (x^2) - Sin[x y]

Una vez definida una función, podemos evaluarla en un punto, operar con ella, ...

f1[2, (π/2)]

f1[x, y]  -  (x^2)

También se pueden definir funciones a trozos. La siguiente función vale (x^2) y si  x<0  y  xy  -  (y^3) si  x≥0.

h1[x_, y_] = 
      Which[x < 0, (x^2) y, x ≥ 0, x y  -  (y^3)]

h1[-1, 1]

h1[1, 2]

Ejercicio

Evaluar (2^10) y  Cos[3π/2]. Definir una función de dos variables que valga x+y si x≥0 y x-y si x<0.

Representación de curvas

Una curva es una función de una a varias variables. Como se vio en clase, existen varias maneras de reprensentar una curva según cómo esté definida.

Función escalar de una variable

Si tenemos una función de una variable, representamos la función por medio de su gráfica, es decir, representamos para cada valor de la variable el valor de la función en ese punto. Por ejemplo, la siguiente gráfica es la de la función Sin x. Entre llaves se indica la variable independiente y los extremos del intervalo donde estamos representando la curva.

Plot[Sin[x], {x, 0, 4  π}]

Función de ℝ en (ℝ^2)

En este caso, vamos a representar la imagen de la función en (ℝ^2). Si la función está definida en forma paramétrica se representa utilizaremos ParametricPlot para representarla. Por ejemplo, a continuación representamos la circunferencia (x=cos t, y= sin t, t∈(0,2π)).

ParametricPlot[{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, 2  π}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Si la función viene dada por la ecuación paramétrica, necesitaremos cargar el paquete ImplicitPlot para representarla. Para ello, ejecutar la siguiente línea.

<< Graphics`ImplicitPlot`

Ahora podemos usar la ImplicitPlot, definido en dicho paquete para representar la elipse (x^2) + 2 (y^2) = 3. Mathematica distingue dos tipos de igualdad, un signo de igualdad, =, indica que estamos definiendo el concepto que aparece a la izquierda mediante el que aparece a la derecha (por ejemplo, asignar un valor a un parámetro o definir una función), mientras que dos signos de igualdad, ==, indican una ecuación. Este método de representación no es tan usual, pues implica algoritmos de resolución de ecuaciones que no están implementados en todos los programas de cálculo. Además en muchas ocasiones el resultado no será satisfactorio, pues para ecuaciones complejas puede ser muy difícil obtener las soluciones.

ImplicitPlot[x^2 + 2 y^2 == 3, {x, -2, 2}, 
      AspectRatio -> Automatic]

Función de ℝ en (ℝ^3)

Finalmente, si tenemos una curva en (ℝ^3), únicamente podemos representarla si está definida mediante sus ecuaciones paramétricas. El siguiente ejemplo muestra una hélice.

ParametricPlot3D[{Cos[t], Sin[t], (t/π)}, {t, 0, 4  π}, 
        AspectRatio -> Automatic];

Ejercicio

Aplicar cada uno de los métodos de representación anteriores para representar curvas definidas en las relaciones de ejercicios.

Representación de superficies

Una superficie es una función de dos variables a varias variables. De nuevo según esté definida la superficie tenemos distintos métodos para representarla.

Ecuación explícita

Cuando la superficie está definida mediante una ecuación implícita la representamos mediante Plot3D. Por ejemplo, a continuación ser representa la superficie z=sin xy.

Plot3D[Sin[x y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}];

También podemos representar la superficie mediante las curvas de nivel, utilizando ContourPlot.

ContourPlot[Sin[x y], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}];

Ecuación paramétrica

En caso de que la superficie esté definida mediante una ecuación paramétrica, necesitamos cargar el módulo ParametricPlot3D, ejecutando la siguiente línea. A continuación representamos la esfera (x=cos u cos v, y=sin u cos v, z=sin v). El cuarto valor en las llaves que indican los extremos de la región dónde está definida la curva ({u,0,2Pi,Pi/20} y {v,-Pi/2,Pi/2,Pi/10}) indica la distancia entre los puntos que estamos representando.

<< Graphics`ParametricPlot3D`

ParametricPlot3D[{Cos[u] Cos[v], Sin[u] Cos[v], Sin[v]}, {u, 0, 
        2  Pi, Pi/20}, {v, -Pi/2, Pi/2, Pi/10}]

Ejercicio

Aplicar cada uno de los métodos de representación anteriores para representar superficies definidas en las relaciones de ejercicios.

Continuidad

Los programas de cálculo nos ofrecen varios métodos para estudiar la continuidad de una función en un punto. En primer lugar, permiten obtener los límites de funciones de una variable (aunque no los de funciones de varias variables), por lo que se pueden utilizar para obtener los límites direccionales o reiterados. El siguiente ejemplo se obtiene el límite de tan x cuando x tiende a π/2 por la izquierda (para estudiarlo por la derecha deberíamos sustituir Direction -> 1 por Direction -> -1).

Limit[Tan[x], x -> (π/2), Direction -> 1]

También podemos estudiar los límites iterados (aunque esto no es común en los programas de cálculo).

Limit[Limit[(x^2) (y^2) - 2 x (y^5) + 3 y, x -> 2], 
      y -> 3]

Por último, la representaión gráfica nos permite intuir si un punto es de continuidad o no. Aunque es mucho más claro en funciones de una variable que en funciones de varias variables. Por ejemplo, la siguiente función de dos variables definida a trozos es discontinua en todo punto de x=0 salvo en (0,0). Sin embargo las gráficas únicamente permiten intuir que pasa algo raro en esa recta.

Plot3D[
        Which[x < 0, x + y, x ≥ 0, x  - y ], {x, -20, 
          20}, {y, -20, 20}];

Represendada mediante curvas de nivel. En este caso los puntos de discontinuidad aparecen cuando las curvas de nivel se superponen o existen zonas claras que tocan a otras mucho más oscuras.

ContourPlot[
        Which[x < 0, x + y, x ≥ 0, x  - y ], {x, -10, 
          10}, {y, -10, 10}, PlotPoints -> 50];

Finalmente, el siguiente ejemplo muestra una función continua en todo punto menos en (0,0). Podemos ver que zonas claras y zonas oscuras se acercan a dicho punto, por lo que no será continuo. En este ejemplo, las curvas de nivel son funciones de la forma y = a (x^2)y para obtener que el punto (0,0) no es continuo deberemos utilizar los límites direccionales con esas curvas (al seguir una curva de nivel, nos estamos moviendo por puntos en los que la función es constante, luego el límite es el valor de la función sobre la curva de nivel, si varias curvas de nivel convergen a un punto, entonces la función en ese punto no es continua, pues según por qué curva nos acerquemos obtendremos un límite distinto).

ContourPlot[(((x^2) y)/((x^4) + (y^2))), {x, -1, 1}, {y, -1, 
          1}, PlotPoints -> 200];

Ejercicio

Calcular los límites direccionales de alguna de las funciones del ejercicio 8 de la primera relación de problemas. Representar la función mediante curvas de nivel.

Extremos

Los programas de cálculo también suelen implementar métodos para obtener los extremos de una función. Sin embargo, como no existe ningún procedimiento de cálculo de máximos y mínimos completamente efectivo, los resultados son méramente indicativos y sin un estudio detallado de la función no podremos determinar si reálmente el extremo ofrecido es realmente el máximo o mínimo absoluto de la función. El siguiente ejemplo muestra cómo obtener el mínimo de una función, los valores 0.1 y 0.2 se denominan semilla y son valores que necesita el método implementado para comenzar a calcular el mínimo. Es conveniente evitar valores exactos, pues en dichos valores los métodos suelen ser menos eficaces.

FindMinimum[(x^2) + 5  (y^2) + x + y, {x, 0.1}, {y, 0.2}]

Otra herramienta útil para calcular extremos (en este caso relativo) son las curvas de nivel, pues cada vez que una curva es cerrada, existe un extremo en el recinto que limita.

ContourPlot[
        Cos [π y]^2 +  Sin [π x]^2, {x, -1, 
          1}, {y, -1, 1}];

Ejercicio

Representar mediante curvas de nivel la función f(x, y) = (((x - 1))^2) + (((y - 2))^2) en un recinto suficientemente amplio. Discutir cuál puede ser el extremo de la función y calcularlo mediante FindMinimum.

Integración

Los programas de cálculo también nos permiten obtener las integrales. En general únicamente soportan integrales de funciones de una variable, pero en algunos casos podemos obtener las integrales de funciones de varias variables, aunque para ello tenemos que escribirlas como dos integrales de una variable. Comencemos calculando una primitiva:

∫(x^n) \[DifferentialD]x

Para obtener la integral de la función en un intervalo, basta especificar los extremos del mismo.

(∫_0^1) 
            (x/(Sqrt[1 + (x^2) - (x^4)])) \[DifferentialD]x

Sin embargo, el problema de obtener una primitiva no siempre se puede resolver. Por ejemplo, a continuación tratamos de calcular la integral de la función sin(sin(x)) en el intervalo (0,1). Sin embargo el programa no ofrece la solución pues no es capaz de determinarla (o no es posible).

(∫_0^1) Sin[Sin[x]] \[DifferentialD]x

En dicho caso, podemos calcular la integral de forma numérica.

NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, 1}]

Finalmente, también podemos calcular integrales dobles, escribiéndolas en forma de dos integrales anidadas.

(∫_0^1)(∫_y^(2  y))x y \[DifferentialD]x \[DifferentialD]y

Ejercicio

Calcular alguna de las integrales de la última relación de problemas (integrales dobles y simples). En el caso de las integrales simples, calcular también el valor de modo aproximado.