Vol 1. Apuntes de Ecuaciones diferenciales

  Vol. 2 Apuntes de Teoría de la Medida

  Vol. 3 Apuntes de Grupos de Lie

  Vol 4. Cajóndesastre Matemático

  Vol. 5 Retos Matemáticos Visuales

  Vol. 6 Breve Recordatorio Teorema de Stokes

 

Poster de: Clasificación Proyectiva, Afín y Euclídea de cuádricas del espacio.

Poster de: Cuádricas del espacio Afín.

 

¿Por qué los cantos rodados de las playas tienden a tener forma de elipsoide?

¿Por qué las patatillas (patatas fritas en rebanadas finas) tienden a tener forma de paraboloide reglado (silla de montar)?

¿Por qué los girasoles tienen dos colecciones de curvas, una destrógira y otra levógira,
en distinto número que además suelen ser dos números seguidos de la sucesión de Fibonacci?

¿Por qué en la superficie de leche de un cazo, o en la base de una tapa, se dibuja una epicicloide?
(que en estos casos se llama cáustica)

¿Qué es π (=Pi)?, ¿Es algo mas que una proporción geométrica (la del perímetro de una circunferencia a su diámetro)?.
¿Se puede ver, como vemos una montaña?.
¿Se puede oír, como oímos la lluvia?. Así suenan, con distintos instrumentos, las 16 primeras notas de π
    si se pone en base 12 y cada cifra es una de las 12 notas de la escala cromática ó dodecafónica (Oir π)

¿Por qué se ven elipses de luz entre las sombras que dan las hojas de un árbol que está a pleno sol?

¿Por qué cuando cierras el grifo de una manguera el caudal disminuye, de repente crece y vuelve a disminuir?

¿Por qué el fenómeno anterior es constante en la naturaleza y se manifiesta entre los seres vivos,
    animales ó plantas, con un resurgimiento de vida antes de morir?

Por qué nos entendemos, incluso traducimos a otro idioma, si obviamente ninguna palabra se puede definir?

¿Por qué son tan especiales las dimensiones 3 y 4 en la vida, la Física y las Matemáticas? (Mira las propiedades siguientes)

 

1.- Hay solución general para encontrar las raíces de un polinomio de grado n, para n=1,2,3 y 4; para ninguno mas.

2.- IR⁴ tiene ¡infinitas¡ estructuras diferenciables (no difeomorfas). En el resto de espacios IRⁿ hay una única estructura
diferenciable (salvo difeomorfismos).

3.- Entre las esferas n-dimensionales S_n de IRⁿ⁺¹, sólo son grupos de Lie S₁ y S₃, la primera con el producto de
los complejos y la segunda de los cuaterniones. Del resto de esferas sólo S₇, con el producto de los octoniones,
es casi grupo de Lie. Lo único que falla es que el producto no es asociativo.

4.- El primer polígono regular del plano que no puede construirse con regla y compás es el de siete lados.

5.- En dimensión 2 hay infinitos polígonos regulares, en dimensión n en general hay tres familias de "hiperpolígonos"
(politopos) regulares que son la generalización del tetraedro, del cubo y del octaedro.
En dimensión 3 hay cinco, las tres anteriores y dos más: el dodecaedro y el icosaedro (que en un sentido son duales)
y en dimensión 4 hay seis, las tres generales y tres más que son: el 24--cell, el 120--cell y el 600--cell,
siendo estos dos últimos duales (el número indica la cantidad de hipercaras frontera).

6.- Las biyecciones de un conjunto de n elementos, X_n={1,2,...,n}, forman con la composición el grupo S_n de las
permutaciones. Este contiene un subgrupo normal A_n, que se llama grupo alternado y que consiste en la colección de
los productos de un número par de transposiciones. A_n es el único subgrupo normal no trivial de S_n, salvo para n=4.
En S₄ hay otro que es el grupo de Klein y que es {id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
y tiene que ver con los tres segmentos que unen los pares de puntos medios de aristas opuestas del tetraedro.

7.- Una biyección f en un conjunto de n elementos, X_n, define por conjugación un isomorfismo f en su grupo
de permutaciones S_n, f(x)=fxf^-1. De este tipo son todos los isomorfismos en S_n, salvo para n=6.
En S₆ hay un isomorfismo que no viene de una biyección en X₆.

8.- En partes de IR y partes de IR² existen medidas finitamente aditivas no nulas, finitas en los acotados,
invariantes por traslaciones y que coinciden con la medida de Lebesgue en los Lebesgue medibles.
Para IRⁿ con n≥3 no es cierto.

9.- Dados dos cuerpos convexos y simétricos respecto del origen A y B en IRⁿ, cuyas secciones A_H y B_H
por cualquier hiperplano central H tienen volúmenes n-1 dimensionales

m_n-1[A_H] ≤ m_n-1[B_H],

¿es cierto que m_n[A] ≤ m_n[B]?
Respuesta.- Verdadero para n=1,2,3,4. Falso para n≥ 5.

10.- En un recorrido aleatorio simple por Z, es decir X_n=Z₁+...+Z_n, para Z_i variables aleatorias independientes
e igualmente distribuidas, con distribución P[Z_i=1]=P[Z_i=-1]=1/2, la probabilidad de que en algún instante
pasemos por un punto arbitrario pero fijo es 1.
En un recorrido aleatorio simple en Z², con probabilidades iguales (1/4) en las cuatro direcciones,
la respuesta también es 1.
En un recorrido en Z³, con probabilidades iguales (1/6) en las seis direcciones, la respuesta es ¡0,6...¡.

11.- Los hipervolúmenes m_n[B_n], de las bolas unidad B_n={x₁²+...+x_n²≤1} de IRⁿ, crecen hasta n=5
y luego decrecen a cero cuando n tiende a infinito. Mas aun, su serie es convergente y no llega a 50.

12.- Para todo natural n≥2 (salvo para n=4) se tiene que: o bien (n-1)¡+1 es múltiplo de n ó (n-1)¡ es múltiplo de n
ocurriendo lo primero si y sólo si n es primo y lo segundo si y solo si no lo es.